A Sabedoria dos Triângulos Parte I

O Triângulo Aritmético

Figura 1

Esta jóia da arquitectura do pensamento humano que é o triângulo aritmético (ocultamente, também chamado “O Archeu”1) chega aos nossos dias percorrendo lugares e épocas imemoriais, desde a mais vetusta antiguidade. Foi propriedade de círculos iniciáticos egípcios e, depois, gregos mas presume-se que estes o herdaram dos hindus. Também os sábios e eruditos chineses o conheceram. Muito mais tarde, no início do séc. XII, foi publicado pelo célebre matemático persa Omar Khayyam (o qual era também astrónomo e metafísico mas que ficou renomado até hoje especialmente no campo da Poesia); contudo, mergulhou novamente num estranho e letárgico sono que o manteve ignoto aos olhos da humanidade profana. A humanidade vivia, então, uma noite longa!…

Os véus da noite foram erguendo-se, lentamente: no séc. XVII, este misterioso e esquivo Triângulo foi parcialmente recuperado por Pascal 2, que, por sua vez, o tomara de Niccolo Tartaglia 3 (1500-1559), do seu “Tratado dos Números”. De todo o modo, na Europa medieval e já depois, com Blaise Pascal, o seu valor mágico perdeu-se, e mesmo as suas mais importantes virtualidades e descodificações (arqui-)matemáticas não foram intuídas. Ele é impressionantemente prolífero. Quase diríamos que a “caixa de Pandora”4 era, talvez, um feixe de luz, que deu corpo a todos os caprichos do Universo!…

Lancemos, entretanto - no presente -, um olhar mais perscrutador e atento… e tentemos vivificar este legado precioso de um passado adormecido!

Figura 2

Descrição
Trata-se de um triângulo equilátero perifericamente constituído (em cada um dos seus lados e, assim, também, na sua base), de 16 posições configuradas esfericamente, em cada uma das quais se inscreve um número: nos dois lados, em cada uma das esferas inscreve-se a unidade; na base, os números são o produto de um fluxo proveniente do cume, ou seja do vértice. No interior destas “paredes”, encontramos uma segunda “capa” em duas diagonais (para a direita e para a esquerda a partir de cima e, inerentemente, de um eixo central) que é preenchida com os números naturais sucessivos de 2 a 15. As duas diagonais que interiormente se seguem, são constituídas da progressão dos números ditos “triangulares” (estes números distam sucessivamente uns dos outros numa progressão regular dos números cardinais, isto é: o primeiro intervalo que os separa é de 2, o segundo é de 3, o terceiro é de 4, o quarto é de 5, etc).

O triângulo é horizontalmente percorrido por 16 fileiras de números (inscritos em idêntico número de esferas): a primeira - o vértice -, obviamente com um único, a unidade; a segunda com dois números (e esferas); a terceira com três números (e esferas) e assim ad infinitum. Deste modo, verificamos que a disposição relativa dos números (e das esferas) de cada fileira é desencontrada com os da fileira que lhe sucede abaixo. Neste desencontro intercalar localizado no espaço, inscreve-se a soma (respectiva) dos números superiores à sua direita e à sua esquerda (exemplo: na quarta fila encontramos a sucessão 1, 3, 3, 1. Logo abaixo, e nos intervalos de cada um dos pares sucessivamente formados, teremos a respectiva soma: 1+3=4; 3+3=6; 3+1=4. A este segmento, em cada uma das extremidades, culminaremos com a unidade; e, assim, temos, na quinta fila: 1, 4, 6, 4, 1. Recapitulando: em cada nova fileira, os números são sempre colocados abaixo e no intervalo de dois outros, sendo o resultado da soma desses dois. Deste modo, traçando um eixo imaginário neste triângulo equilátero, verificaremos que os números resultantes se sucedem para um e para o outro lado na mesma ordem - como se o eixo fora um espelho).

Atribuindo uma coloração de fundo branco aos números ímpares e uma coloração de fundo escuro aos números pares, deparamo-nos com um singular arranjo geométrico, cujos significados e proporções aritméticas são, no mínimo, surpreendentes.

Características e propriedades
Pode, com justiça, convir-se que as 4 primeiras filas constituem um triângulo germinal ou matricial e, curiosamente, ele corresponde à configuração da Tetraktys 5 Pitagórica. Com efeito, e nomeadamente:

- Atentemos na sucessão numeral dos algarismos que conformam a base desse triângulo: é 1331. Expandindo-se este triângulo holograficamente, acharemos um segundo cuja base corresponde à 8a fila; temos um terceiro cuja base corresponde à 12a fila, e temos um quarto cuja base (geral) corresponde à 16a fila. O resultado das respectivas somas dos seus números constituintes é: 1o triângulo = 8; 2o triângulo = 82 x 2 (ou 128); 3o triângulo = 83 x 4 (ou 2.048, ou 128 x 16); 4o triângulo = 84 x 8 (ou 32.768, ou 128 x 162).

- Excluindo a primeira fila (o vértice), que representa a unidade, os primeiros 4 números constituintes da sucessão de algarismos nas seguintes 4 filas apresentam a particularidade de serem as potências do número que lhe está imediatamente anterior. Assim: 11; 112 = 121; 1212 = 1331; 13312 = 14641. (Este último número - 14641 - inscreve-se na primeira metade do primeiro losango matricial 6. Simbolicamente, o losango é a junção de duas componentes de polaridades opostas e complementares. É o ser andrógino, no Universo).

- Para encontrarmos uma determinada soma de números sucessivos que se alinham em qualquer diagonal até uma dada posição nesse alinhamento, bastará - seguindo o curso de cima para baixo e (convencionando, por exemplo) da esquerda para a direita (ou seja, as diagonais do lado esquerdo do triângulo) - situarmo-nos na posição directamente abaixo e à direita. Exemplificando: o resultado da soma dos números naturais de 1 a 13 (que veremos alinhados na 2a diagonal à esquerda) encontrar-se-á baixando um nível e desviando à direita. Será o número 91.
- Exceptuando a primeira esfera (o vértice, a unidade), as somas dos números de cada fila horizontal correspondem à série das potências do número 2 (ex: vértice = 1; 2; 22; 23; 24; 25; 26, etc, até 215).

- Traçando eixos perpendiculares a qualquer um dos lados do triângulo, verificaremos que eles demarcam o limite (contado a partir do vértice superior) para a integração da sucessão dos números que compõem a escala de Fibonacci, até à 16a casa desta mesma escala: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 e 987. Exactamente a partir deste ponto para a outra margem, não mais se consegue integrar aquela sucessão (que é ilimitada). O 16 é o número, por excelência, do universo manifestado = 42 - sendo que 4 é o número “regente” da Matéria, o número que superintende à Forma. Por outras palavras, a sequência de números cuja soma determina cada elemento na série de Fibonacci, encontra-se, sucessivamente, do seguinte modo: avança-se horizontalmente uma casa (uma esfera), no sentido da esquerda para a direita, e, logo após, na mesma direcção, uma outra casa em diagonal e para cima. Este é chamado o lance ou salto de cavalo (típico do jogo do xadrez).

- Na cadeia de Fibonacci, o 10o número corresponde também à soma dos 10 primeiros números naturais (do 1 a 10). Este número é o 55, já anteriormente referido e considerado numa nota de rodapé.

- A soma de todos os números integrantes do triângulo é 65.535 = (2562 - 1); ou (164 - 1). O número 256 é também a soma dos números da fila que integra a linha axial longitudinal do losango maior; esse é um eixo particular, cujo centro - com o número 70 - é o ponto crucífero do losango e, em simultâneo, o vértice superior de um outro triângulo interno e subjectivo em relação ao triângulo capital (da intersecção deste triângulo menor e subjectivo 7 com o triângulo que sobressai invertido - de números pares -, surgirá a matriz germinal para a estrela de 6 pontas, com os seus místicos significados).

- Os os 11, 16 e 128 são os números-chave neste triângulo.

Na rubrica Arquitecturas, em próximos números de Biosofia, continuaremos a apresentar e a desdobrar esta temática dos Triângulos ditos “mágicos”, neles considerando e fazendo sobressair as suas implicações e significados mágicos e simbólicos.

Isabel Nunes Governo
Vice-Presidente do Centro Lusitano de Unificação Cultural

1 Os Kumaras, deíficos Progenitores da Humanidade, eram também chamados “Triângulos”.

2 Como é sabido, Blaise Pascal foi um matemático e físico frutuoso com fortes inclinações místico-filosóficas.

3 Niccolo Tartaglia era um fervoroso seguidor e devoto da sabedoria de Arquimedes.

4 Sobre este mito: em última análise, e metaforicamente, os males e vicissitudes saídos da “caixa de Pandora” mais não são do que a matéria e a sua inerente instrumentação - meios pelos quais, unicamente, é proporcionado ao homem a obtenção do conhecimento e, bem assim, a sua Evolução e Sublimação espirituais. Num Universo que se desvela e desdobra - matematica e ordenadamente perfeito em toda a sua potencialidade -, o homem avança por caminhos, embora espinhosos e tortuosos… Pandora significa “a que possui todos os dons”. É a Eva grega, a Mãe na Natureza, a Mãe Primordial. Curiosamente, no mito, o dom que é “um com a caixa” (aquele que se sobreleva), é a Esperança. A Esperança projecta-nos no Futuro: é um poder dinamizador. Numa visão metafórica e, também, algo poética, ela é o substracto do Tempo e a garantia da sua sustentação… De algum modo, o Triângulo e a Árvore da Vida, ou do Conhecimento (na tradição cristã: a árvore do fruto proibido e “letal”… que levaria a humanidade a conhecer “as dores de parto” e o mistério da morte e das suas renovações), são idênticos, e podem ver-se, simbolicamente, como o feixe de Luz da Sabedoria. Na Cabala, a Árvore (com os seus “Caminhos” e “Ramificações”) simboliza a estrutura arquitectural e numeral do Universo.

5 Tetraktys ou o “Quatro” sagrado pelo qual juravam os pitagóricos, sendo este seu juramento o mais sacramentado e vinculativo. Tem profusos e místicos significados, identificando-se ao Tetragrammatom. O primeiro de todos é “Unidade” ou o “Um” sob quatro aspectos diferentes; logo é o número fundamental “Quatro”, a Tétrade contendo a Década, ou Dez, o número da perfeição. Finalmente, significa a Tríada primeva (ou Triângulo) fundida na Mónada divina. (in “Theosophical Glossary”, de H. P. Blavatsky)

6 Se prolongarmos o primeiro losango branco superior até o seu vértice entrosar o o 70 (este é um exemplo de um número dito “andrógino”: se retirarmos o zero neste número par, ele seria um número ímpar), poderíamos pontualmente colorir este setenta de branco. Se fizermos o mesmo para os losangos laterais inferiores, forjaremos um vértice (externo ao conjunto) que assumiria o resultado de 1820. Ora 1820 é 70 x 26. Curiosamente, este número 1820 é composto, por permutação de algarismos, do radical 128. (Por outro lado, a diferença entre a quantidade de números ímpares - 81 - e de números pares - 55 - é de 26; também 26 é o número de graus de um dos lados do triângulo do “complexo” estrutural de Fibonacci quando este se configura como um triângulo rectângulo, de características muito particulares quando até ao limite do seu 10o elemento de série: o o 55. Este triângulo inscreve um quadrado de 16 pontos numerados cruciais, e é reproduzido no diagrama 2. Os dois restantes ângulos deste triângulo têm respectivamente 90 e 64 graus). Se prolongarmos o losango capital (que vai do vértice superior até à base do triângulo), encontraremos o o 12870: novamente composto do radical 128 e, neste caso, seguido do 70 que é, na verdade, o centro do referido losango.

7 A base desse triângulo teria como sucessão de números os seguintes: 1820, 4368, 8008, 11440, 12870, 11440, 8008, 4368, 1820.

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