Caos e Complexidade
A Flecha do Tempo
Parte I

ENTROPIA, conceito fundamental em Ciência

Gravada na placa funerária do túmulo do físico austríaco Ludwig Boltzmann (1844-1906), está uma equação matemática que representa um dos seus mais importantes contributos e constitui uma das mais notáveis formulações da Ciência: S = k. log W.

A letra k representa uma constante fundamental na Natureza, conhecida precisamente por constante de Boltzmann mas, como não tem interesse directo na apresentação que segue, ser-lhe-á atribuído o valor 1. W representa o número de modos diferentes de dispor microscopicamente um conjunto de partículas (sejam iões, átomos ou moléculas) sem que um observador externo (averiguando de um ponto de vista macroscópico) consiga diferenciá-las. W é também conhecido como uma medida do caos do sistema, entendendo-se por caos exactamente o que acabámos de referir. S tem o nome de ENTROPIA e representa uma propriedade macroscópica extensiva do sistema de partículas. Extensiva significa que é tanto maior quanto maior for a massa do sistema. A fórmula de Boltzmann estabelece, portanto, uma relação entre uma grandeza macroscópica e uma grandeza microscópica, permitindo concluir que a ENTROPIA é uma propriedade que permite quantificar o caos.
Exemplifiquemos de modo a tornar mais clara esta definição. Suponhamos que temos um conjunto de mil átomos magnéticos, fixos em certas posições de uma matriz e com os seus momentos magnéticos 1 alinhados numa determinada e única direcção (figura 1). Macroscopicamente diremos que temos um íman com uma força magnética de 1000 unidades. Microscopicamente só existe uma maneira de dispor os 1000 átomos nas 1000 posições (não há graus de liberdade), pelo que W = 1 e, como o logaritmo 2 de 1 é zero, S = 0. Ou seja, num sistema organizado e sem nenhum grau de liberdade, a ENTROPIA é nula. Agora, admitamos que um dos 1000 átomos não é magnético. Então, o íman macroscópico passa a ter uma força magnética de 999 unidades. Onde se situa o átomo não-magnético na matriz de 1000 posições? Há 1000 maneiras diferentes de colocar o átomo não-magnético em 1000 posições possíveis. Então, W = 1000 e S = 6,9. A ENTROPIA aumentou. Consideremos agora que 2 dos 1000 átomos não são magnéticos, o que confere ao nosso íman a força magnética de 998 unidades. Teremos então 1000 possibilidades para colocarmos o primeiro átomo e, uma vez definida a sua posição, já só restam 999 possibilidades para posicionarmos o segundo; ou seja, no total teríamos W = 1000 x 999 = 999000 possibilidades de distribuir os 2 átomos não-magnéticos naqueles 1000 lugares, obtendo-se um íman de 998 unidades de força magnética. Agora, S = 13,8. (Repare-se na utilidade do logaritmo: permite transformar grandes números em números ao nosso alcance!) Vemos assim que quanto maior o número de possibilidades microscópicas para obter um determinado estado macroscópico maior a ENTROPIA do sistema.

O equilíbrio e a perturbação

Podemos caracterizar o estado macroscópico de um sistema de muitas partículas por uma dada probabilidade, tanto maior quanto maior for o número de micromaneiras de o atingir (microestados). Quando dizemos que um dado sistema está num estado (macroscópico) de equilíbrio isso significa que esse estado corresponde ao estado mais provável de todos os macroestados que lhe estavam acessíveis, ou seja, àquele que possuía maior número de microestados, maior ENTROPIA, portanto.
Em geral, os sistemas estão sempre sujeitos a alguns constrangimentos que não lhes permitem variar certas características, mas possuem também uns quantos graus de liberdade que possibilitam a variação de outras propriedades. Por exemplo, um sistema pode ter paredes rígidas obrigando-o a ter um volume constante mas essas mesmas paredes podem ser boas condutoras térmicas, permitindo que o sistema possa trocar energia térmica com o meio que o envolve até se igualarem as suas temperaturas.
Um sistema sai do estado de equilíbrio em que se encontra quando passa a dispor de graus de liberdade que não tinha antes 3 ou quando, dentro dos graus de liberdade que possui, sofre uma qualquer perturbação que lhe provoque instabilidade. Inicia então um processo de transformação que só termina quando o sistema atinge um novo estado de equilíbrio. Esse novo estado será aquele que, segundo os constrangimentos a que o sistema está sujeito, corresponder ao maior número de microestados possíveis, ou seja, à maior ENTROPIA. O novo estado de equilíbrio do sistema será, portanto, aquele ao qual corresponder a máxima ENTROPIA.
Resumindo, um sistema sai de um estado de equilíbrio quando é perturbado e o seu estado se torna instável. Evolui, então, até um novo estado de equilíbrio escolhendo, de entre todos os que lhe estão acessíveis, o estado de maior número de possibilidades microscópicas, ou seja, de maior ENTROPIA.

O mundo da termodinâmica

Todos os corpos que existem na Natureza são constituídos por um n.º muito grande de partículas. Quando consideramos uma partícula isolada e lhe atribuímos uma dada localização e velocidade no espaço, dizemos que ela possui uma certa energia potencial e cinética, respectivamente. Na ausência de outras forças aplicadas à partícula, a soma dessas duas energias deve manter-se constante e, portanto, a variação de um dos termos deve ser compensada pelo outro. É o importante princípio da conservação da energia total, que passou a ter um lugar de destaque a partir do século XIX, como um conceito unificador em Ciência.
Quando consideramos sistemas de muitas partículas, a energia total passa a ser a soma das energias cinética e potencial de todas as suas partículas. Contudo, há agora a ponderar um novo aspecto. É que os movimentos das partículas podem estar ou não correlacionados, sendo então classificados como coerentes ou incoerentes. O movimento não-correlacionado e incoerente das partículas é conhecido por movimento térmico, e a temperatura (propriedade macroscópica dos sistemas) está relacionada com este tipo de energia, a energia térmica. Quando passamos da partícula individual para o conjunto de partículas e a questão da coerência do movimento se torna relevante estamos a passar da simples dinâmica para um nova área da física, o mundo da termodinâmica.
A vida no planeta Terra desenvolve-se a temperaturas que rondam os 300 K (23 ºC) e a sobrevivência dos seres depende de processos físicos, químicos e bioquímicos que só se dão a temperaturas dessa ordem. Se descermos uma ordem de grandeza e passarmos a 30 K (- 243 ºC), as partículas estão congeladas nos seus arranjos materiais e já não existe actividade química ou biológica. Contudo, o mundo dos processos físicos não foi grandemente afectado. Uma ordem de grandeza abaixo, a 3 K (-270 ºC), até se revelam novos fenómenos físicos, como a supercondutividade eléctrica 4 e a superfluidez 5. Esta é também a temperatura característica da radiação cósmica de fundo, que permeia o espaço universal. 6 Pareceria difícil descer ainda mais. Porém, fazendo uso das propriedades magnéticas das partículas atómicas e nucleares, foi possível descer a 0,3 K, a 0,03 K, a 0,003 K… A física começa então a tornar-se silenciosa. O recorde mundial (não será galáctico ou até mesmo universal?) da baixa temperatura foi atingido em 1999 e é de 1 x 10 10 K. Inimaginável! A esta temperatura, a física está praticamente moribunda. No outro sentido, se considerarmos temperaturas da ordem dos 3000 K, já praticamente não existem moléculas, muito dos átomos encontram-se dissociados, formando plasma, um gás de núcleos e electrões. A energia é trocada livremente entre matéria e radiação. Acima dessa temperatura, os núcleos dividem-se nas suas partículas constituintes; mais acima, os próprios nucleões separam-se nos quarks e noutras partículas elementares; continuando a subir em temperatura, tudo se vai transformando num mar de radiação…
Ao ocupar-se das propriedades e evolução dos sistemas de muitas partículas cujo comportamento depende explicitamente da temperatura, sejam esses sistemas físicos, químicos ou biológicos, a Termodinâmica tornou-se uma área de estudo transversal a todos os domínios científicos.

Calor e trabalho

Calor e trabalho são dois termos corriqueiros da nossa vida diária, sobretudo para nos queixarmos quando os julgamos excessivos! Contudo, em ciência e, nomeadamente, em termodinâmica, eles são muito importantes pois correspondem aos dois modos possíveis de troca de energia entre e dentro de sistemas. O que está em causa não é o modo como a energia é “transportada” do sistema A para o sistema B, como se, para nos deslocarmos do lugar A para o lugar B pudéssemos optar por ir a pé ou de autocarro. Não. O que distingue calor e trabalho é antes o modo como a energia é recebida (ou cedida) pelos sistemas. Se um sistema recebe (ou cede) energia sob a forma de trabalho (diz-se que “recebe (ou realiza) trabalho”) tal significa que a energia lhe foi fornecida (ou ele a forneceu) de forma “organizada”, coerente. Pelo contrário, se o sistema recebe (ou cede) energia sob a forma de calor (diz-se que “recebe (ou cede) calor”), isso significa que recebeu (ou cedeu) energia de uma forma desorganizada, incoerente, caótica. 7
Exemplifiquemos. Quando colocamos dois corpos a temperaturas diferentes em contacto directo um com o outro, a energia térmica vai fluir do corpo mais quente para o mais frio até que as temperaturas se igualem. O que está em causa é uma transferência de calor. Quando levantamos um peso do chão ou quando aproveitamos a energia eólica ou mecânica e a convertemos em eléctrica, etc, estamos a trocar trabalho. Quando um corpo está exposto à radiação solar, se apenas a sua temperatura aumentar houve transferência de calor; contudo, se a absorção de radiação também der origem, por exemplo, a uma reacção química, então também se tratou de um processo com transferência de trabalho. Em todos os fenómenos, a variação total da energia (?U) pode ser avaliada como , onde Q representa o calor trocado e W o trabalho realizado ou sofrido. Esta fórmula, que constitui uma aplicação do princípio da conservação da energia, traduz a 1a lei da Termodinâmica: num sistema isolado, a energia total mantém-se constante. (Um sistema isolado é aquele cujas fronteiras não permitem que o sistema interaja com o que lhe é exterior. É claro que o sistema isolado pode ser tão grande e complexo como o próprio Universo, basta definir apropriadamente as suas fronteiras.)

Uma desigualdade fundamental na Natureza

Quando, por exemplo, esfregamos as mãos uma na outra, estamos a realizar um processo mecânico de fricção (trabalho, portanto) para converter a energia mecânica do movimento em energia térmica que vai aquecer as nossas mãos, ou seja, aumentar a sua temperatura. Podemos abreviar dizendo que estamos a converter trabalho em calor. Por outro lado, quando queimamos madeira ou gasóleo, por exemplo, podemos aproveitar o calor criado para pôr máquinas em movimento (lembremos as antigas locomotivas e tantos motores que funcionam com produtos derivados do petróleo). Neste caso, estamos a converter calor em trabalho. Será possível com uma dada quantidade de trabalho gerar uma certa quantidade de calor e com essa quantidade de calor voltar a gerar a quantidade inicial de trabalho? Ou, dito de outra forma, serão estes processos equivalentes? A 1ª lei não deixa antever quaisquer restrições à sua mútua conversão.
Carnot (1796-1832), Joule (1818-1889), Kelvin (1824-1907) e Clausius (1822-1888), pais da termodinâmica, exploraram a conversão de trabalho em calor e de calor em trabalho em inúmeras experiências reais e conceptuais, e o conjunto dos seus esforços permitiu perceber uma assimetria fundamental no modo como a Natureza lida com as transformações de energia sob estas duas formas. Verifica-se, de facto, que, embora seja sempre possível converter trabalho em calor, quando se pretende o inverso, converter calor em trabalho, há sempre alguma quantidade de energia que se dissipa sob a forma de calor, como se isso correspondesse a uma espécie de imposto de transacção de energia que fosse obrigatório pagar. Em experiências cuidadosamente realizadas pode-se minorar esta quantidade de energia dissipada mas não se consegue eliminar totalmente 8. Consoante as situações concretas, esta energia dissipada é conhecida por fricção, atrito, dispersão, aquecimento, corrosão, deterioração, etc.
Há, portanto, um outro princípio fundamental na Natureza, para além do da conservação de energia: a energia tende a dispersar. Ora a dissipação de energia pode corresponder a uma dispersão espacial da energia (sob a forma de energia térmica) pelos átomos do sistema ou do meio envolvente, e/ou à perda de coerência da sua organização e movimento. Como vimos no exemplo do íman, a fórmula de Boltzmann dá-nos indicações precisas sobre a relação entre coerência e ENTROPIA. Os sistemas onde o grau de organização e de coerência é maior têm ENTROPIA menor. Quando são estimulados no sentido de perda dessa coerência, a sua ENTROPIA aumenta. O novo princípio enunciado é então equivalente a afirmar “a ENTROPIA tende a aumentar” e constitui uma das formulações possíveis da 2ª lei da Termodinâmica.

A espontaneidade
na Natureza

Podemos dividir os processos desenvolvidos pelos sistemas quando variam entre estados de equilíbrio como sendo do tipo reversível – em qualquer ponto do percurso é possível alterar o seu sentido (o passado e o futuro são equivalentes) –, ou do tipo irreversível – é impossível voltar ao estado anterior (existe uma flecha do tempo). Os processos ditos NATURAIS, aqueles que ocorrem espontaneamente na Natureza, são todos do tipo irreversível. Apenas processos preparados, realizados em condições laboratoriais muito controladas, geralmente lentas para evitar grande dissipação, podem ser considerados como reversíveis. A reversibilidade é, por conseguinte, uma idealização, como quando admitimos o movimento sem atrito.
É do conhecimento de todos que o calor nunca flui naturalmente de um sistema a temperatura mais baixa para outro que tenha uma temperatura mais alta. Contudo, nada há no enunciado da 1ª lei da Termodinâmica que impeça que o fluxo de energia se dê nesse sentido. Na verdade, com a ajuda de uma maquinaria adequada, é possível conseguir o que espontaneamente a Natureza não nos faculta. Um bom exemplo é o frigorífico. Trata-se de um sistema que arrefece um volume mantendo-o a uma temperatura mais baixa que a do resto da casa. Mas esse arrefecimento não é espontâneo. Para que se dê, precisamos de gastar energia eléctrica, facto bem notório quando chega a factura da EDP!
A variação da ENTROPIA (?S) que, em termos de grandezas macroscópicas, pode ser relacionada com a razão entre a quantidade de calor trocada pelo sistema e a sua temperatura, ?, caracteriza a reversibilidade do processo desenvolvido pelo sistema. Nos processos naturais, espontâneos, ou seja, irreversíveis, a ENTROPIA aumenta sempre (?S > 0).

Uma aparente contradição

Vejamos agora um exemplo simples. Se tivermos uma chávena de água e nela dissolvermos uma colher de café, a entropia do conjunto aumenta, uma vez que o n.º de maneiras de distribuir as moléculas dos intervenientes passa a ser maior. Se deixarmos a mistura ao ar, a água acaba por se evaporar e o café fica no fundo da taça, ou seja, a sua entropia diminui. Isso viola a 2ª lei da Termodinâmica? Na verdade não, porque embora a entropia do café tenha diminuído, a entropia da água aumentou muito ao sair da mistura com café e espalhar-se pelo ar da sala como vapor de água. Podemos ainda argumentar: e se tivéssemos uma maneira de condensar a água que se evaporou da chávena de modo a obtê-la de novo no estado líquido numa 2ª chávena? Neste caso, vamos conseguir diminuir tanto a entropia do café como a da água! De facto assim é, mas estamos a introduzir um novo elemento no sistema, o condensador de água. Para aplicarmos correctamente a 2ª lei temos agora que considerar o sistema água+café+condensador. Neste novo sistema, a operação da máquina de condensação cria entropia adicional, e assim estaremos sempre nas condições de aumento da entropia total de acordo com a 2ª lei da Termodinâmica, apesar das diminuições da entropia da água e do café.
É relativamente frequente depararmo-nos com o argumento de que a 2ª lei da Termodinâmica é inconsistente com a existência de seres vivos uma vez que a sua evolução, desde a ameba até ao ser humano, é um processo contínuo de desenvolvimento em níveis de complexidade cada vez mais elevada e, portanto, de entropia sucessivamente menor. Trata-se, contudo, de um argumento falacioso. Avaliar se a evolução é um processo que viola a 2ª lei requer, como vimos, a ponderação de todos os intervenientes e de todos os processos parciais envolvidos. A Terra não é um sistema fechado. Aquilo que a mantém do ponto de vista químico é a recepção contínua da energia do Sol e a dispersão do calor que permite que ela não sobreaqueça. Todos os seus elementos realizam permanentemente trocas energéticas. A energia do Sol possibilita a existência de sistemas e de processos onde, localmente, decresce a entropia. Porém, quando incluímos todos os elementos, desde o próprio Sol, passando pelos produtos da cadeia alimentar até à energia dissipada pelos seres, a entropia total aumenta sempre, continuamente…
A 2ª lei da Termodinâmica aplica-se, portanto, ao conjunto sistema + universo complementar. Tendo em conta todos os intervenientes, a ENTROPIA aumenta sempre, desde que o processo seja irreversível.

A qualidade da energia

Finalmente, vejamos um último aspecto da ENTROPIA. Coloquemos uma bola a certa altura do chão conferindo-lhe, portanto, uma dada energia potencial gravítica, e deixemo-la cair. Ela vai bater no chão, subir novamente, descer, bater no chão, voltar a subir… e repete o ciclo subindo a alturas cada vez menores até que, por fim, ficará novamente no chão. Enquanto subia e descia a bola trocava a sua energia cinética em potencial e a potencial em cinética, realizando trabalho. Mas também aquecia as moléculas do ar, por atrito, transferindo calor, e, cada vez que batia no chão, cedia-lhe parte da sua energia cinética, também sob a forma de calor. A energia da bola foi-se assim dispersando pelas moléculas do ar e do chão. O movimento coerente dos átomos da bola deu lugar a um movimento incoerente dos átomos do ar e do chão.
Se agora aquecermos a bola de modo a ela ter o mesmo valor de energia total que tinha quando a deixámos cair, ela não se mexe nem começa a saltar. Ter energia, portanto, não é suficiente para vencer a força da gravidade e subir. A energia tem que ser capaz de gerar movimento coerente. E aquecer é gerar movimento incoerente. O mesmo valor de energia está na bola mas a sua ENTROPIA é muito maior e ela não se consegue deslocar.
Este exemplo simples chama a atenção para o facto de atribuirmos qualidade à energia, no sentido de “capacidade de realizar trabalho”, de gerar coerência. Sempre que há dissipação de energia perde-se coerência e capacidade de trabalho. Diz-se que a qualidade da energia diminuiu, que ela se degradou. Podemos dizer, portanto, que a ENTROPIA qualifica a energia e que quando a ENTROPIA do sistema aumenta isso significa que o sistema diminuiu a sua capacidade para realizar trabalho e movimento ou organização coerente.
Quando arde uma floresta não estamos a diminuir a quantidade de energia do Universo porque ela se mantém constante, passando apenas a outra forma de conservação. O que acontece é um aumento da ENTROPIA do Universo, ou seja, uma diminuição da qualidade da energia. Como adverte o químico Peter Atkins, “À medida que a sociedade tecnológica queima os seus recursos naturais de modo cada vez mais vigoroso, a entropia do Universo cresce inexoravelmente, e a qualidade da sua energia declina concomitantemente. Não estamos no meio de uma crise de energia mas sim no limiar de uma crise de entropia. O que precisamos de fazer não é conservar a energia, pois a Natureza faz isso automaticamente, mas sim gerir bem a sua qualidade”. 10

Liliana Ferreira
Licenciada em Física; Doutorada em Física da Radiação; Professora no Departamento de Física da Universidade de Coimbra; Investigadora na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

Notas:
1 Momento magnético é uma propriedade microscópica associada ao movimento dos electrões que gravitam em torno do núcleo e que confere magnetismo ao átomo ou ião.
2 Usa-se aqui não o logaritmo decimal mas o logaritmo natural ou neperiano, que é o logaritmo calculado na base e (e = 2,71828182…) e que se representa geralmente por ln.
3 Por exemplo, suponhamos que uma das paredes rígidas que limitava o sistema referido no parágrafo anterior se tornava móvel. Nesse caso, o sistema iria aproveitar este novo grau de liberdade para movimentar a parede até que a grandeza macroscópica pressão dentro e fora do sistema se igualasse.
4 Supercondutividade – descoberta em 1911 pelo físico alemão Onnes, é uma característica intrínseca de certos materiais que quando são arrefecidos a temperaturas muito baixas conduzem corrente eléctrica sem resistência nem perdas.
5 Superfluidez – fenómeno semelhante à supercondutividade quando se dão fluxos de partículas sem envolver resistência mecânica (atrito). A superfluidez do 4He foi descoberta nos anos 30 por Pyotr Kapitza (prémio Nobel em 1978), entre outros.
6 Sobre radiação cósmica de fundo pode obter-se mais informação no artigo “No mundo do imensamente grande…”, Biosofia nº 3, Outubro 1999.
7 Sobre o significado de calor e trabalho, chama-se a atenção para uma alteração introduzida no ensino da física do 10º ano de escolaridade. O novo programa considera, a nosso ver incorrectamente, que, para além de calor e trabalho, a energia também se pode transferir por radiação electromagnética. Sobre este assunto, repare-se como a radiação pode ser recebida tanto por troca de calor como de trabalho no exemplo dado no parágrafo seguinte desta secção e consulte-se um esclarecedor artigo de M. M. Cruz e J. Alves Maia, publicado na Gazeta de Física, Vol. 27, Nº 3, 2004.
8 Deixaremos para outro artigo a consideração de fenómenos ao nível microscópico onde parece não haver dissipação de energia.
9 A igualdade verifica-se quando os processos são reversíveis.
10 Peter W. Atkins, “The Second Law”, Scientific American Books Inc., 2nd Ed, 1994

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